A reversibilidade do tempo é uma propriedade de um processo matemático ou físico cuja dinâmica permanece bem definida quando a sequência de estados de tempo é revertida.

Um processo determinístico é reversível no tempo se o processo com tempo revertido satisfizer as mesmas equações dinâmicas do processo original. Em outras palavras, as equações são invariantes ou simétricas sob uma mudança no sinal de tempo. Um processo estocástico é reversível se as propriedades estatísticas do processo forem iguais às propriedades estatísticas para os dados com tempo revertido a partir do mesmo processo.^[1]

Matemática

Em matemática, um sistema dinâmico é reversível no tempo se a evolução direta for uma função injetora, de modo que, para todo estado, existe uma transformação (uma involução) ${\displaystyle \pi }$ que dá um mapeamento injetor entre a evolução com tempo revertido de qualquer estado e a evolução direta no tempo de outro estado correspondente, dada pela equação operadora:

${\displaystyle U_{-t}=\pi U_{t}\pi .}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Quaisquer estruturas independentes no tempo (por exemplo, pontos críticos ou atratores) que a dinâmica faz surgir devem por isso ser autossimétricas ou ter imagens simétricas sob a involução ${\displaystyle \pi }$.^[2]

Física

Em física, as leis do movimento da mecânica clássica exibem reversibilidade do tempo, enquanto o operador ${\displaystyle \pi }$ reverte os momentos conjugados de todas as partículas do sistema, isto é, ${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {-p} }$ (simetria T).

Em sistemas de mecânica quântica, entretanto, a força nuclear fraca não é invariante sob a simetria T apenas. Se as interações fracas estiverem presentes, as dinâmicas reversíveis ainda são possíveis, mas apenas se o operador ${\displaystyle \pi }$ também reverter os sinais de todas as cargas e a paridade das coordenadas espaciais (simetria C e simetria P). Esta reversibilidade de várias propriedades relacionadas é conhecida como simetria CPT.

Os processos termodinâmicos podem ser reversíveis ou irreversíveis, dependendo da mudança na entropia durante o processo.^[3]

Processos estocásticos

Um processo estocástico é reversível no tempo se as probabilidades conjuntas das sequências de estado direta e reversa forem as mesmas para todos os conjuntos de incrementos de tempo ${\displaystyle \{\tau _{s}\}}$, para ${\displaystyle s=1,\ldots ,k}$ para qualquer ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle p(x_{t},x_{t+\tau _{1}},x_{t+\tau _{2}},\ldots ,x_{t+\tau _{k}})=p(x_{t'},x_{t'-\tau _{1}},x_{t'-\tau _{2}},\ldots ,x_{t'-\tau _{k}}).}$^[4]

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Um processo gaussiano estacionário univariado é reversível no tempo. Os processos de Markov podem apenas ser reversíveis se suas distribuições estacionárias tiverem a propriedade do equilíbrio detalhado:

${\displaystyle p(x_{t}=i,x_{t+1}=j)=p(x_{t}=j,x_{t+1}=i).}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

O critério de Kolmogorov define a condição para que uma cadeia de Markov ou uma cadeia de Markov de tempo contínuo sejam reversíveis no tempo.

A reversão do tempo de numerosas classes de processos estocásticos tem sido estudada, incluindo processos de Lévy,^[5] redes estocásticas (lema de Kelly),^[6] processos de nascimento e morte,^[7] cadeias de Markov^[8] e processos de Markov determinísticos por partes.^[9]

Na teoria dos sistemas dinâmicos, um sistema autônomo é um sistema de equações diferenciais ordinárias que não depende nas variáveis independentes.

Definição

Um sistema autônomo de ordem n é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde x é um vetor de n dimensões.

Note que a função ${\displaystyle f\,}$ não depende de ${\displaystyle t\,}$

Sistema autônomo de primeira ordem

Um sistema autônomo de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x)\,}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde ${\displaystyle x(t)\,}$ é uma função real da variável t.

Na teoria dos sistemas, um sistema linear é um modelo matemático de um sistema baseado no uso de um operador linear . Os sistemas lineares normalmente exibem recursos e propriedades que são muito mais simples do que o caso não linear. Como abstração ou idealização matemática, os sistemas lineares encontram aplicações importantes na teoria do controle automático, processamento de sinais e telecomunicações . Por exemplo, o meio de propagação para sistemas de comunicação sem fio pode frequentemente ser modelado por sistemas lineares.

Definição

Um sistema determinístico geral pode ser descrito por um operador, ${\displaystyle H}$, que mapeia uma entrada, ${\displaystyle x(t)}$, como a função de ${\displaystyle t}$ para uma saída, ${\displaystyle y(t)}$, um tipo de descrição de caixa preta . Os sistemas lineares satisfazem a propriedade de superposição . Dadas duas entradas válidas

${\displaystyle x_{1}(t)\,}$

${\displaystyle x_{2}(t)\,}$

bem como seus respectivos resultados

${\displaystyle y_{1}(t)=H\left\{x_{1}(t)\right\}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

${\displaystyle y_{2}(t)=H\left\{x_{2}(t)\right\}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

então um sistema linear deve satisfazer

${\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

para quaisquer valores escalares ${\displaystyle \alpha \,}$ e ${\displaystyle \beta \,}$ .

O sistema é então definido pela equação ${\displaystyle H(x(t))=y(t)}$, Onde ${\displaystyle y(t)}$ é alguma função arbitrária do tempo, e ${\displaystyle x(t)}$ é o estado do sistema. Dado ${\displaystyle y(t)}$ e ${\displaystyle H}$, o sistema pode ser resolvido para ${\displaystyle x(t)}$ . Por exemplo, um oscilador harmônico simples obedece à equação diferencial:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx}$ .

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Se

${\displaystyle H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t)}$ ,

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

então ${\displaystyle H}$ é um operador linear. De locação ${\displaystyle y(t)=0}$, podemos reescrever a equação diferencial como ${\displaystyle H(x(t))=y(t)}$, o que prova que um oscilador harmônico simples é um sistema linear.

O comportamento do sistema resultante sujeito a uma entrada complexa pode ser descrito como uma soma de respostas a entradas mais simples. Em sistemas não lineares, não existe tal relação. Esta propriedade matemática torna a solução das equações de modelagem mais simples do que muitos sistemas não lineares. Para sistemas invariantes no tempo, esta é a base da resposta ao impulso ou os métodos de resposta de frequência (ver teoria do sistema LTI ), que descreve uma função de entrada geral ${\displaystyle x(t)}$ em termos de impulsos unitários ou componentes de frequência .

Equações diferenciais típicas de sistemas lineares invariantes no tempo são bem adaptadas para análise usando a transformada de Laplace no caso contínuo, e a transformada Z no caso discreto (especialmente em implementações de computador).

Outra perspectiva é que soluções para sistemas lineares compreendem um sistema de funções que atuam como vetores no sentido geométrico.

Um uso comum de modelos lineares é descrever um sistema não linear por linearização . Isso geralmente é feito por conveniência matemática.

Resposta ao impulso variável com o tempo

A resposta ao impulso variável no tempo h ( t ₂, t ₁ ) de um sistema linear é definida como a resposta do sistema no tempo t = t ₂ a um único impulso aplicado no tempo t = t ₁ . Em outras palavras, se a entrada x ( t ) para um sistema linear é

${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})\,}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde δ ( t ) representa a função delta de Dirac, e a resposta correspondente y ( t ) do sistema é

${\displaystyle y(t)|_{t=t_{2}}=h(t_{2},t_{1})\,}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

então, a função h ( t ₂, t ₁ ) é a resposta do sistema ao impulso variável no tempo. Uma vez que o sistema não pode responder antes que a entrada seja aplicada, a seguinte condição de causalidade deve ser satisfeita:

${\displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

A convolução integral

A saída de qualquer sistema linear de tempo contínuo geral está relacionada à entrada por uma integral que pode ser escrita em um intervalo duplamente infinito em decorrência da condição de causalidade:

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Se as propriedades do sistema não dependem do tempo em que ele é operado, então ele é considerado invariante no tempo (estacionário) e h () é uma função apenas da diferença de tempo τ = tt 'que é zero para τ <0 ( ou seja, t <t '). Por redefinição de h (), é então possível escrever a relação de entrada-saída de forma equivalente em qualquer uma das maneiras,

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .Os sistemas lineares invariantes no tempo são mais comumente caracterizados pela transformada de Laplace da função de resposta ao impulso chamada de função de transferência, que pode ser descrita como:

${\displaystyle H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Em aplicações, geralmente é uma função algébrica racional de s. Como h (t) é zero para t negativo, a integral pode igualmente ser escrita na faixa duplamente infinita e colocar s = iω segue a fórmula para a função de resposta em termos da frequência :

${\displaystyle H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Sistemas de tempo discreto

A saída de qualquer sistema linear de tempo discreto está relacionada à entrada pela soma da convolução variável no tempo, como descrito abaixo:

${\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

ou equivalentemente para um sistema invariante no tempo na redefinição de h (),

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Onde

${\displaystyle k=n-m\,}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

representa o intervalo de tempo entre o estímulo no tempo m e a resposta no tempo n .