Em teoria cinética molecular em física, a função distribuição de uma partícula é a função de sete variáveis, , a qual dá o número de partículas por unidade de volume num espaço de fase. É o número de partículas tendo aproximadamente a velocidade  próxima ao local  e o tempo . A normalização usual desta função é

${\displaystyle n(x,y,z,t)=\int f\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

${\displaystyle N(t)=\int n\,dx\,dy\,dz}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Aqui, N é o número total de partículas e n é o número densidade de partículas - o número de partículas por unidade de volume, ou a densidade dividida pela massa de partículas individuais.

As funções distribuição de partículas são frequentemente usadas em física de plasma para descrever interações onda-partícula e instabilidades velocidade-espaço. Funções distribuição são também usadas em mecânica dos fluidos e mecânica estatística.

A função distribuição básica usa a constante de Boltzmann ${\displaystyle k}$ e temperatura ${\displaystyle T}$ com o número densidade para modificas a distribuição normal:

${\displaystyle f={\frac {n}{\sqrt {(2\pi RT)^{3}}}}\exp \left({-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}}\right)}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Funções distribuição relacionadas devem permitir um fluxo fluido maior, nos casos em que a velocidade original é fixada, então que o numerador do expoente é ${\displaystyle m((v_{x}-u_{x})^{2}+(v_{y}-u_{y})^{2}+(v_{z}-u_{z})^{2})}$; ${\displaystyle (u_{x},u_{y},u_{z})}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

é a maior velocidade do fluido. Funções distribuição podem também representar temperaturas não isotrópicas, nas quais cada termo no expoente é dividido por uma diferente temperatura.

Teorias sobre plasma tais como a magnetoidrodinâmica podem considerar as partículas como estando em equilíbrio termodinâmico. Neste caso, a função distribuição é Maxwelliana. Esta função distribuição trata o fluxo fluido e diferentes temperaturas em direções paralelas a, e perpendiculares a, o campo magnético local. Funções fistribuição mais complexas podem também ser usadas dado que plasmas raramente estão em equilíbrio térmico.

O análogo matemático da distribuição é uma medida; a evolução no tempo de uma medida num estado de fase é o tópico estudado em sistemas dinâmicos.

Em matemática, função iterada é uma função que é composta consigo mesma, em forma repetida, em um processo chamado iteração. As funções iteradas são objeto de profundos estudos no campo dos fractais e sistemas dinâmicos.

Definição

A definição formal de uma função iterada em um conjunto ${\displaystyle X}$ é:

Seja ${\displaystyle X}$ um conjunto e ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ uma função. Define-se o iterado ${\displaystyle n}$-ésimo ${\displaystyle f^{n}}$ de ${\displaystyle f}$ mediante ${\displaystyle f^{0}=\operatorname {id} _{X}}$ onde ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ é a função identidade em ${\displaystyle X}$, e ${\displaystyle f^{n+1}=f\circ f^{n}}$./G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Na expressão prévia, ${\displaystyle f\circ g}$ indica uma composição de funções; que tem o valor, ${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$.

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Criação de sequências de iteração

A sequência de funções ${\displaystyle f^{n}}$ é chamada uma sequência de Picard, em homenagem a Charles Émile Picard. Dado um ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle X}$, a sequência de valores ${\displaystyle f^{n}(x)}$ é denominada a órbita de ${\displaystyle x}$.

Se ${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n+m}(x)}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

para algum número inteiro , então a órbita denomina-se órbita periódica. O menor número de  para um dado  é chamado o período da órbita. O ponto  é chamado um ponto periódico.

Na física atômica, molecular e óptica e na química quântica, o hamiltoniano molecular é o operador hamiltoniano que representa a energia dos elétrons e núcleos de uma molécula.^[1][2] Esse operador e a equação de Schrödinger associada desempenham um papel central na química e na física computacional^[3] para calcular propriedades de moléculas e agregados de moléculas, como condutividade térmica, calor específico, condutividade elétrica, propriedades ópticas e magnéticas e reatividade.^[4][5]

O Hamiltoniano molecular é uma soma de vários termos: seus principais termos são as energias cinéticas dos elétrons^[6] e as interações Coulomb (eletrostática) entre os dois tipos de partículas carregadas.^[7][8] O Hamiltoniano que contém apenas as energias cinéticas dos elétrons e núcleos, e as interações de Coulomb entre eles, é conhecido como Hamiltoniano de Coulomb. Nele faltam alguns termos pequenos, a maioria dos quais são devidos a spin eletrônico e nuclear.

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Na física, o Lagrangeano de Euler-Heisenberg descreve a dinâmica não linear de campos eletromagnéticos no vácuo. Foi obtido por Werner Heisenberg e Hans Heinrich Euler em 1936. Ao tratar o vácuo como um meio, o lagrangeano prevê taxas de processos de interação de luz eletrodinâmica quântica^[1].

Equação

Ele leva em conta polarização do vácuo para um loop, e é válido para campos eletromagnéticos que mudam lentamente em comparação com a massa eletrônica inversa^[2]:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-m^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right]{\frac {ds}{s^{3}}}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Aqui ${\displaystyle m}$ é a massa de elétrons, e a carga de elétrons ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {B} ^{2}-\mathbf {E} ^{2}\right)}$, e ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} }$.

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

No limite do campo fraco, isso se torna:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right]}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Descreve-se a [[dispersão de fóton-fóton^[3], em EDQ. Robert Karplus e Maurice Neuman calcularam a amplitude total,^[4], que é muito pequena e não foi vista.

Mecânica hamiltoniana é uma reformulação da mecânica clássica que foi elaborada em 1833 pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton. Originou-se da mecânica lagrangiana, outra reformulação da mecânica clássica, introduzida por Joseph Louis Lagrange em 1788. Ela pode entretanto ser formulada sem recorrer à mecânica lagrangiana, usando espaços simpléticos. Veja a seção sobre esta formulação matemática para isto. O método hamiltoniano difere do lagrangiano em que em vez de expressar confinamentos diferenciais de segunda ordem sobre um espaço coordenado n-dimensional, ela expressa confinamentos de primeira ordem sobre um espaço de fases 2n-dimensional.[1].

Como com a mecânica lagrangiana, as equações de Hamilton fornecem uma maneira nova e equivalente de olhar mecanismos clássicos. Geralmente, estas equações não fornecem uma maneira mais conveniente de resolver um problema particular. Entretanto, fornecem introspecções mais profundas na estrutura geral de mecanismos clássicos e em sua conexão aos mecânicos quânticos como compreendidos através dos mecânicos hamiltonianos, assim como suas conexões a outras áreas da ciência.

Visão geral simplificada dos usos

Para um sistema fechado, a soma da energia cinética e potencial no sistema é representada por um conjunto de equações diferenciais conhecido como as equações de Hamilton. Hamiltonianos podem ser usados para descrever tais sistemas simples como uma bola quicando, um pêndulo ou uma mola oscilante, em que há interconversão entre as energias potencial e cinética do sistema com o passar do tempo. Hamiltonianos podem também ser empregados para modelar a energia de outros sistemas dinâmicos mais complexos tais como órbitas planetárias e sistemas quânticos.^[1]

As equações de Hamilton são geralmente escritas como segue:

${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

${\displaystyle {\dot {q}}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Nas equações acima, o ponto acentuando denota a derivada ordinária com respeito ao tempo das equações p = p(t) (chamada momento generalizado) e q = q(t) (chamado coordenadas generalizadas), tomando valores em algum espaço vetorial, e ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ = ${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q,t)}$ é o assim chamado (função) Hamiltoniana, ou (valoração escalar) Hamiltoniano. Então, numa pequena nota mais explicitamente, pode-se escrever

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}p(t)=-{\frac {\partial }{\partial q}}{\mathcal {H}}(p(t),q(t),t)}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}q(t)=~~{\frac {\partial }{\partial p}}{\mathcal {H}}(p(t),q(t),t)}$

e especifica o domínio de valores nos quais o parâmetro t ("tempo") varia.

Para uma derivação mas detalhadas destas equações da mecânica lagrangeana, ver abaixo.

Interpretação física básica, mnemotécnica

A mais simples interpretação das equações de Hamilton é como segue, aplicando-as a um sistema unidimensional consistindo de uma partícula de massa m e exibindo conservação de energia:

O Hamiltoniano ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ representa a energia do sistema, a qual é a soma de energia cinética e potencial, tradicionalmente notado T & V, respectivamente. Aqui q é a coordenada x e p é o momento, mv. Então

${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V,\quad T={\frac {p^{2}}{2m}},\quad V=V(q)=V(x).}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Note que T é a função de p apenas, enquanto V é a função de somente de x (ou q).

Agora a derivada no tempo do momento p iguala-se a força Newtoniana, e então aqui a primeira equação de Hamilton significa que a força sobre a partícula iguala-se a taxa na qual ele perde energia potencial com relação a alterações em x, sua localização. (Força iguala-se ao gradiente negativo da energia potencial.)

A derivada no tempo de q significa a velocidade: a segunda equação de Hamilton aqui significa que a velocidade da partícula iguala-se a derivada de sua energia cinética com relação ao seu momento. (Para a derivada com relação a p de p²/2m iguala p/m = mv/m = v.)