Na física, uma partícula livre é uma partícula que, em certo sentido, não está vinculada por uma força externa, ou equivalentemente não está em uma região onde sua energia potencial varia. Na física clássica, isso significa que a partícula está presente em um espaço "sem campo". Na mecânica quântica, significa uma região de potencial uniforme, geralmente modulada para zero na região de interesse, uma vez que o potencial pode ser arbitrariamente arranjado para zero em qualquer ponto (ou superfície em três dimensões) no espaço.

Descrição matemática

Partícula livre clássica

A partícula livre clássica é caracterizada simplesmente por uma velocidade fixa v. O momento linear é dado por

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$/

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

e a energia cinética, que é igual à energia total, é dada por

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde m é a massa da partícula e v é o vetor velocidade da partícula.

Partícula livre quântica

Uma partícula livre na mecânica quântica (não relativística) é descrita pela equação de Schrödinger livre:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde ψ é a função de onda da partícula na posição r e tempo t. A solução para uma partícula com momento p ou vetor de onda k, na freqüência angular ω ou energia E, é dada pela onda plana complexa:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

com amplitude A. Como para todas as partículas quânticas livres ou ligadas, o princípio da incerteza de Heisenberg

${\displaystyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq \hbar }$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

(da mesma forma para as direções y e z) e as relações De Broglie:^[1]:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,\quad E=\hbar \omega }$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

se aplicam. Como a energia potencial é adotada como zero, a energia total E é igual à energia cinética, que tem a mesma forma da física clássica:

${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Há várias equações que descrevem partículas relativísticas: veja equações de onda relativísticas.^[2][3][4][5]

Em matemática, no estudo de funções iteradas e sistemas dinâmicos, um ponto periódico de uma função é um ponto ao qual o sistema retorna depois de um certo número de iterações de função ou um certo período de tempo.^[1][2]

Funções iteradas

Dado um endomorfismo f em um conjunto X

${\displaystyle f:X\to X}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

um ponto x em X é chamado ponto periódico, se existe um n para que

${\displaystyle \ f_{n}(x)=x}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde ${\displaystyle f_{n}}$ é a enésima iteração de f. O menor inteiro positivo n, satisfazendo o acima, é chamado de período primo ou menor período do ponto x. Se cada ponto em X é um ponto periódico com o mesmo período n, então f é chamado periódico com o período n. Se existem n e m distintos tais que

${\displaystyle f_{n}(x)=f_{m}(x)}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

então x é chamado de ponto pré-periódico. Todos os pontos periódicos são pré-periódicos.

Se f é um difeomorfismo de uma variedade diferenciável, de modo que a derivada ${\displaystyle f_{n}^{\prime }}$ é definida, então diz-se que um ponto periódico é hiperbólico se

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|\neq 1,}$ 

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

que é atraente se

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|<1,}$

e é "repelente" se

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|>1.}$

Se a dimensão do variedade estável^[3][4] de um ponto periódico ou ponto fixo for zero, o ponto é chamado de fonte; se a dimensão de sua variedade instável é zero, ela é chamada de variedade; e se tanto a variedade estável quanto a instável tiverem uma dimensão diferente de zero, ele é chamado de ponto de sela ou a sela.^[5][6]

Na teoria dos sistemas dinâmicos, diz-se que um ponto é recorrente quando ele pertence ao seu conjunto ômega-limite. O estudo de um certo sistema dinâmico quase sempre reduz-se à descrição do comportamento das órbitas dos seus pontos recorrentes.

Definição

Sejam ${\displaystyle X}$ um espaço topológico e ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ um homeomorfismo. Dizemos que ${\displaystyle p\in M}$ é um ponto recorrente caso ${\displaystyle p\in \omega (p)}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Além disto, definimos o conjunto ômega-limite de ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle \Omega (f)=\{p\in Z\mid p\in \omega (p)\}}$.

Para fluxos, mutatis mutandis, temos a seguinte definição:

Sejam ${\displaystyle M}$ uma variedade suave e ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \times M\rightarrow M}$ um fluxo contínuo definido sobre ${\displaystyle M}$. Dizemos que ${\displaystyle p\in M}$ é um ponto recorrente caso ${\displaystyle p\in \omega (p)}$.

Definimos o conjunto ômega-limite de ${\displaystyle \phi }$ por ${\displaystyle \Omega (f)=\{p\in Z\mid p\in \omega (p)\}}$.

Esquerda: Dois corpos com massa semelhante orbitando um baricentro comum externo a ambos os corpos, com órbitas elípticas, típicas de estrelas binárias. Direita: Dois corpos com uma "leve" diferença de massa orbitando um baricentro comum. Os tamanhos e esse tipo de órbita são semelhantes ao sistema Plutão-Caronte (no qual o baricentro é externo a ambos os corpos) e ao sistema Terra-Lua, onde o baricentro é interno ao corpo maior.

Parte de uma série sobre
Astrodinâmica
Mecânica orbital
Elementos orbitais[Expandir]
Tipos de órbitas de dois corpos, por excentricidade[Expandir]
Equações[Expandir]
Mecânica celestial
Influências gravitacionais[Expandir]
Problema dos n-corpos[Expandir]
Engenharia e eficiência
Engenharia de pré-voo[Expandir]
Medidas de eficiência[Expandir]
v d e

Na mecânica clássica, o problema de dois corpos é prever o movimento de dois objetos massivos que são vistos abstratamente como ponto material. O problema assume que os dois objetos interagem apenas um com o outro; a única força que afeta cada objeto surge do outro, e todos os outros objetos são ignorados.

O caso mais proeminente do problema clássico de dois corpos é o caso gravitacional (veja também o problema de Kepler), surgindo na astronomia para prever as órbitas (ou escapes da órbita) de objetos como satélites, planetas e estrelas. Um modelo de partículas de dois pontos de tal sistema quase sempre descreve seu comportamento bem o suficiente para fornecer percepções e previsões úteis.

Um modelo mais simples de "um corpo", o "problema de força central", trata um objeto como a fonte imóvel de uma força agindo sobre o outro. Em seguida, procura-se prever o movimento do único objeto móvel remanescente. Tal aproximação pode dar resultados úteis quando um objeto é muito mais massivo que o outro (como em um planeta leve orbitando uma estrela pesada, onde a estrela pode ser tratada como essencialmente estacionária).

No entanto, a aproximação de um corpo geralmente é desnecessária, exceto como um trampolim. Para muitas forças, incluindo as gravitacionais, a versão geral do problema de dois corpos pode ser reduzida a um par de problemas de um corpo, permitindo que seja resolvido completamente e fornecendo uma solução simples o suficiente para ser usada de maneira eficaz.

Em contraste, o problema de três corpos (e, mais geralmente, o Problema de n-corpos para n ≥ 3) não pode ser resolvido em termos de primeiras integrais, exceto em casos especiais.

Resultados para casos de destaque

Gravidade e outros exemplos de quadrado inverso

O problema de dois corpos é interessante na astronomia porque pares de objetos astronômicos geralmente estão se movendo rapidamente em direções arbitrárias (para que seus movimentos se tornem interessantes), amplamente separados um do outro (para que não colidam) e ainda mais amplamente separados de outros objetos (assim as influências externas serão pequenas o suficiente para serem ignoradas com segurança).

Sob a força da gravidade, cada membro de um par desses objetos orbitará seu centro de massa mútuo em um padrão elíptico, a menos que eles estejam se movendo rápido o suficiente para escapar um do outro completamente, caso em que seus caminhos divergirão ao longo de outras seções cônicas planares. Se um objeto for muito mais pesado que o outro, ele se moverá muito menos que o outro com referência ao centro de massa compartilhado. O centro de massa mútuo pode até estar dentro do objeto maior.

Para a derivação das soluções para o problema, veja Problema clássico de força central ou problema de Kepler.

Em princípio, as mesmas soluções se aplicam a problemas macroscópicos envolvendo objetos interagindo não apenas pela gravidade, mas por qualquer outro campo de força escalar atrativo obedecendo a uma Lei do inverso quadrado, sendo a atração eletrostática o exemplo físico óbvio. Na prática, esses problemas raramente surgem. Exceto talvez em aparatos experimentais ou outros equipamentos especializados, raramente encontramos objetos de interação eletrostática que estão se movendo rápido o suficiente e em uma direção que evite colisões e/ou que estejam suficientemente isolados de seus arredores.

O sistema dinâmico de um sistema de dois corpos sob a influência do torque acaba por ser uma equação de Sturm-Liouville.^[1]

Inaplicabilidade a átomos e partículas subatômicas

Embora o modelo de dois corpos trate os objetos como ponto material, a mecânica clássica só se aplica a sistemas de escala macroscópica. A maior parte do comportamento das partículas subatômicas não pode ser prevista sob as suposições clássicas subjacentes a este artigo ou usando a matemática aqui.

Os elétrons em um átomo às vezes são descritos como "orbitando" seu núcleo, seguindo uma conjectura inicial de Niels Bohr (esta é a fonte do termo "orbital"). No entanto, os elétrons não orbitam os núcleos em nenhum sentido significativo, e a mecânica quântica é necessária para qualquer compreensão útil do comportamento real do elétron. Resolver o problema clássico de dois corpos para um elétron orbitando um núcleo atômico é enganoso e não produz muitas percepções úteis.

Redução a dois problemas independentes de um corpo

O problema de dois corpos completo pode ser resolvido reformulando-o como dois problemas de um corpo: um trivial e um que envolve a solução para o movimento de uma partícula em um potencial externo. Como muitos problemas de um corpo podem ser resolvidos exatamente, o problema de dois corpos correspondente também pode ser resolvido.

Coordenadas de Jacobi para o problema de dois corpos; As coordenadas de Jacobi são ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}}$ e ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}$ com ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\ }$.^[2]/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Sejam x₁ e x₂ as posições vetoriais dos dois corpos, e m₁ e m₂ suas massas. O objetivo é determinar as trajetórias x₁(t) e x₂(t) para todos os tempos t, dadas as posições iniciais x₁(t = 0) e x₂(t = 0)/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c . e as velocidades iniciais v₁(t = 0) e v₂(t = 0)./G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Quando aplicada às duas massas, a segunda lei de Newton afirma que

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

(Equação 1)

$${\displaystyle \mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

(Equação 2)

onde F₁₂ é a força na massa 1 devido às suas interações com a massa 2 e F₂₁ é a força na massa 2 devido às suas interações com a massa 1. Os dois pontos no topo dos vetores de posição x denotam sua segunda derivada em relação ao tempo, ou seus vetores de aceleração.

Adicionar e subtrair essas duas equações as separa em dois problemas de um corpo, que podem ser resolvidos independentemente. A adição das equações (1) e (2) resulta em uma equação que descreve o movimento do centro de massa (baricentro). Por outro lado, subtrair a equação (2) da equação (1) resulta em uma equação que descreve como o vetor r = x₁ − x₂ entre as massas muda com o tempo. As soluções desses problemas independentes de um corpo podem ser combinadas para obter as soluções para as trajetórias x₁(t) e x₂(t).

Movimento do centro de massa (1.º problema de um corpo)

Seja ${\displaystyle \mathbf {R} }$ a posição do centro de massa (baricentro) do sistema. A adição das equações de força (1) e (2) produz

$${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde usamos a terceira lei de Newton F₁₂ = −F₂₁ e onde

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

 /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

A equação resultante:

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}=0}$$

mostra que a velocidade ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .do centro de massa é constante, do que se segue que o momento total m₁ v₁ + m₂ v₂ também é constante (conservação do momento). Assim, a posição R(t) do centro de massa pode ser determinada em todos os momentos a partir das posições e velocidades iniciais.

Movimento vetorial de deslocamento (2.º problema de um corpo)

Dividindo ambas as equações de força pelas respectivas massas, subtraindo a segunda equação da primeira, e reorganizando dá a equação

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}}$$

 /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde usamos novamente a terceira lei de Newton F₁₂ = −F₂₁ e onde r é o vetor de deslocamento da massa 2 para a massa 1, conforme definido acima.

A força entre os dois objetos, que se origina nos dois objetos, deve ser apenas uma função de sua separação r e não de suas posições absolutas x₁ e x₂; caso contrário, não haveria simetria translacional e as leis da física teriam que mudar de lugar para lugar. A equação subtraída pode, portanto, ser escrita:

$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$$

 /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde ${\displaystyle \mu }$ é a massa reduzida

$${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

 /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Resolver a equação para r(t) é a chave para o problema de dois corpos. A solução depende da força específica entre os corpos, que é definida por ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$. Para o caso em que ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ segue uma lei do inverso quadrado, veja o problema de Kepler.

Uma vez que R(t) e r(t) tenham sido determinados, as trajetórias originais podem ser obtidas

$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$

 /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

como pode ser verificado substituindo as definições de R and r no lado direito dessas duas equações.

O movimento de dois corpos é planar

O movimento de dois corpos um em relação ao outro sempre ocorre em um plano (no quadro de centro de massa).

Demonstração: Definindo o momento linear p e o momento angular L do sistema, em relação ao centro de massa, pelas equações

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde μ é a massa reduzida e r é a posição r elativa r₂ − r₁ (com estes escritos tomando o centro de massa como origem e, portanto, ambos paralelos a r) a taxa de variação do momento angular L é igual ao torque líquido N

$${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,}$$

 /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

e usando a propriedade do produto vetorial que v × w = 0 para quaisquer vetores v e w apontando na mesma direção,

$${\displaystyle \mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$

 /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

com F = μ d²r/dt². /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Introduzindo a suposição (verdadeira para a maioria das forças físicas, pois elas obedecem à terceira lei forte do movimento de Newton) de que a força entre duas partículas atua ao longo da linha entre suas posições, segue-se que r × F = 0 e o vetor momento angular L é constante (conservado). Portanto, o vetor deslocamento r e sua velocidade v estão sempre no plano perpendicular ao vetor constante L.

Energia do sistema de dois corpos

Se a força F(r) é conservativa então o sistema tem uma energia potencial U(r), então a energia total pode ser escrita como

$${\displaystyle E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

No referencial do centro de massa, a energia cinética é a mais baixa e a energia total torna-se

$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

As coordenadas x₁ e x₂ podem ser expressas como

$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r} }$$

 /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r} }$$

 /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

e de forma semelhante a energia E está relacionada com as energias E₁ e E₂ que contêm separadamente a energia cinética de cada corpo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Forças centrais

Ver artigo principal: Problema clássico de força central

Para muitos problemas físicos, a força F(r) é uma força central, ou seja, é da forma

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde r = |r| e r̂ = r/r é o vetor unitário correspondente. Agora temos:

$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde F(r) é negativo no caso de uma força atrativa.

Trajetórias aproximadas de três corpos idênticos localizados nos vértices de um triângulo escaleno e com velocidades iniciais nulas. Vê-se que o centro de massa, de acordo com a lei da conservação do momento, permanece no lugar

Na física e na mecânica clássica, o problema de três corpos é o problema de tomar as posições e velocidades iniciais (ou momento) de três massas pontuais e resolver seu movimento subsequente de acordo com as leis do movimento de Newton e a lei da gravitação universal de Isaac Newton.^[1] O problema de três corpos é um caso especial do Problema de n-corpos. Ao contrário do problema de dois corpos, não existe uma solução geral de forma fechada,^[1] pois o sistema dinâmico resultante é caótico para a maioria das condições iniciais, e métodos numéricos são geralmente necessários.

Historicamente, o primeiro problema específico de três corpos a receber estudo prolongado foi o que envolvia a Lua, Terra e o Sol.^[2] Em um sentido moderno estendido, um problema de três corpos é qualquer problema em mecânica clássica ou mecânica quântica que modela o movimento de três partículas.

Descrição matemática

A afirmação matemática do problema de três corpos pode ser dada em termos das equações newtonianas de movimento para posições vetoriais ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})}$ de três corpos gravitacionalmente interagindo com massas ${\displaystyle m_{i}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde ${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional.^[3][4] Este é um conjunto de nove equações diferenciais de segunda ordem. O problema também pode ser enunciado de forma equivalente no formalismo hamiltoniano, caso em que é descrito por um conjunto de 18 equações diferenciais de primeira ordem, uma para cada componente das posições ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} }$ e momento ${\displaystyle \mathbf {p_{i}} }$:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ é o Hamiltoniano:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Neste caso ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ é simplesmente a energia total do sistema, gravitacional mais cinética.

Problema restrito de três corpos

O problema circular restrito de três corpos é uma aproximação válida das órbitas elípticas encontradas no Sistema Solar, e isso pode ser visualizado como uma combinação dos potenciais devidos à gravidade de dois corpos primários juntamente com o efeito centrífugo de sua rotação (efeitos Coriolis são dinâmicos e não mostrados). Os pontos de Lagrange podem ser vistos como os cinco lugares onde o gradiente na superfície resultante é zero (mostrado como linhas azuis), indicando que as forças estão em equilíbrio

No problema restrito de três corpos,^[3] um corpo de massa desprezível (o "planetoide") se move sob a influência de dois corpos massivos. Tendo massa desprezível, a força que o planetoide exerce sobre os dois corpos massivos pode ser desprezada, e o sistema pode ser analisado e, portanto, descrito em termos de um movimento de dois corpos. Normalmente, esse movimento de dois corpos é considerado como consistindo de órbitas circulares em torno do centro de massa, e o planetoide se move no plano definido pelas órbitas circulares.

O problema restrito de três corpos é mais fácil de analisar teoricamente do que o problema completo. Também é de interesse prático, pois descreve com precisão muitos problemas do mundo real, sendo o exemplo mais importante o sistema Terra-Lua-Sol. Por essas razões, ocupou um papel importante no desenvolvimento histórico do problema de três corpos.

Matematicamente, o problema é enunciado da seguinte forma. Seja ${\displaystyle m_{1,2}}$ as massas dos dois corpos massivos, com coordenadas (planares) ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ e ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, e deixe ${\displaystyle (x,y)}$ são as coordenadas do planetoide. Para simplificar, escolha unidades tais que a distância entre os dois corpos massivos, bem como a constante gravitacional, sejam iguais a ${\displaystyle 1}$. Então, o movimento do planetoide é dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

onde ${\displaystyle r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}$. /G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Nesta forma as equações de movimento carregam uma dependência de tempo explícita através das coordenadas . No entanto, esta dependência do tempo pode ser removida através de uma transformação para um referencial rotativo, o que simplifica qualquer análise subsequente.

Soluções

Enquanto um sistema de três corpos interagindo gravitacionalmente é caótico, um sistema de três corpos interagindo elasticamente não é

Solução geral

Não existe uma solução geral de forma fechada para o problema de três corpos,^[1] o que significa que não existe uma solução geral que possa ser expressa em termos de um número finito de operações matemáticas padrão. Além disso, o movimento de três corpos geralmente não é repetido, exceto em casos especiais.^[5]

No entanto, em 1912, o matemático finlandês Karl F. Sundman provou que existe uma solução analítica para o problema de três corpos na forma de uma série de potências em termos de potências de t^1/3.^[6] Esta série converge para todos os t reais, exceto para as condições iniciais correspondentes ao momento angular zero. Na prática, esta última restrição é insignificante, pois as condições iniciais com momento angular zero são raras, tendo medida de Lebesgue zero.

Uma questão importante na comprovação deste resultado é o fato de que o raio de convergência para esta série é determinado pela distância até a singularidade mais próxima. Portanto, é necessário estudar as possíveis singularidades dos problemas de três corpos. Como será brevemente discutido abaixo, as únicas singularidades no problema de três corpos são colisões binárias (colisões entre duas partículas em um instante) e colisões triplas (colisões entre três partículas em um instante).

Colisões, sejam binárias ou triplas (na verdade, qualquer número), são um tanto improváveis, pois foi demonstrado que elas correspondem a um conjunto de condições iniciais de medida zero. No entanto, não há nenhum critério conhecido para ser colocado no estado inicial para evitar colisões para a solução correspondente. Assim, a estratégia de Sundman consistiu nos seguintes passos:

1. Usando uma mudança de variáveis apropriada para continuar analisando a solução além da colisão binária, em um processo conhecido como regularização.
2. Provando que colisões triplas só ocorrem quando o momento angular L se anula. Ao restringir os dados iniciais a L ≠ 0, ele removeu todas as singularidades reais das equações transformadas para o problema de três corpos.
3. Mostrando que se L ≠ 0, então não só não pode haver colisão tripla, mas o sistema está estritamente limitado a uma colisão tripla. Isso implica, usando o teorema da existência de Augustin-Louis Cauchy para equações diferenciais, que não há singularidades complexas em uma faixa (dependendo do valor de L) no plano complexo centrado em torno do eixo real (tons de Kovalevskaya).
4. Encontre uma transformação conforme que mapeie essa faixa no disco unitário. Por exemplo, se s = t^1/3 (a nova variável após a regularização) e se |ln s| ≤ β, então este mapa é dado por

${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}$

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... ../ c .

Isso conclui a prova do teorema de Sundman.

A série correspondente, no entanto, converge muito lentamente. Ou seja, obter um valor de precisão significativa requer tantos termos que esta solução é de pouca utilidade prática. De fato, em 1930, David Beloriszky calculou que se a série de Sundman fosse usada para observações astronômicas, então os cálculos envolveriam pelo menos 10^8000000 termos.^[7]